A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年提到孪生素数猜想,即存在无穷多对孪生素数。
即两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5;5和7;11和13;17和19;29和31;41和43;59和61;71和73;101和103;…和;都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是×2-1和×2+1;
陈景润于1966年得到存在无穷多个素数p,使得p+2是不超过两个素数之积。
为了证明自己的结果,张益唐使用了一种叫k元组(k-tuple)的数学工具来寻找素数。你可以把k元组想象成一把梳子,其中部分梳齿被折断了。如果你从数轴上任意选定的位置开始,沿数轴放置这样一把梳子,那么剩余梳齿将会指向一组数字。
张益唐的目光集中在一类折断梳子上,其剩余梳齿满足“可容许性”(admissibility)这一整除性质。首先,他证明,任意一把至少有350万个梳齿的“可容许梳子”会在数轴的无穷多个位置上发现至少两个素数。接下来,他展示了如何从一把有7000万个梳齿的梳子出发,通过折断除素数梳齿以外的其他所有梳齿,来得到一把至少有350万个梳齿的可容许梳子。张益唐得出结论,这样一把梳子一定能不断地找到两个素数,且找到的两个素数相差不超过7000万。
蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔称这一发现是“一个了不起的突破”,“(这)是一个具有历史意义的结果”。
张益唐的工作包括三个单独的步骤,每一步都为他7000万的上界提供了潜在的改进空间。首先,张益唐引用了一些非常深奥的数学过程来确定素数可能隐藏的位置。接下来,他用这个结果计算出他的梳子需要多少梳齿,才能保证它可以无穷多次地找到至少两个素数。最后,他计算出自己必须从多大的梳子开始,才能在折断到满足可容许性之后还能留下足够的梳齿。
在张益唐的三个步骤中,最先得到改进的是最后一步。在这一步中,他找到了一把至少有350万个梳齿的可容许梳子。张益唐证明,只需一把长度为7000万的梳子,就能得到这样一把可容许梳子,但他并没有特别努力去尝试缩短这一长度。这其中有很大的改进空间,擅长计算数学的研究人员很快就开始了一场良性竞争,寻找具有给定梳齿数的更小的可容许梳子。
关于张益唐网友评价很高,甚至有人认为是有史以来最伟大的华人数学家。关于孪生素数猜想老张已经给出了终极性的研究方向,就是不断地缩小这个距离,事实上在陶哲轩的带领下,一群菲尔茨奖获得者集体在为老张“打工”,2,3个月内把这个距离从7千万降到了5414。
后来,陶哲轩看到张益唐的成果,然后自己也雇了个团队,加班加点把5414继续降低到246,离2越来越近了,但是没有继续往下走。
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