1727年,欧拉(Euler)被指派到圣彼得堡。他在手稿《关于最近所做火炮发射试验的思考》(MeditationuponExperimentsmaderecentlyonfiringofCannon)中引入符号e表示自然对数的底数。这份手稿直到1862年才发表。
1735年,欧拉引入了记号f(x)。
1736年,欧拉出版了《力学》(Mechanica),这是第一本基于微分方程的力学教科书。
约1750年,达朗贝尔研究了“三体问题”并将微积分应用到天体力学。欧拉、拉格朗日和拉普拉斯也进行三体问题的工作。
1750年,法尼亚诺(GiulioFagnano)在《数学成果》(Produzionimatematiche)发表了他以前的大部分工作。它包含了双纽线的显着性质以及积分的加倍公式。欧拉利用这个公式证明了椭圆积分的加法公式。
1751年,欧拉发表了他的复数对数理论。
1755年,欧拉出版了《微分学原理》(Institutionescalculidifferentialis),书的开头包含了有限差分的研究。
1765年,欧拉出版了《刚体运动理论》(TheoryoftheMotionsofRigidBodies),它为分析力学打下了基础。
1769年,欧拉出版了他的三卷本《屈光学》(Dioptics)的第一卷。
1769年,欧拉提出了欧拉猜想,即三个四次幂的和不是一个四次幂,四个五次幂的和不是一个五次幂,高次幂依此类推。
1770年,欧拉出版了教科书《代数》(Algebra)。
1777年,欧拉在一份手稿中引入符号i表示-1的平方根,这跟手稿直到1794年才出版。
在1728年,哥德巴赫在思考一种整数数量的差值问题。
哥德巴赫心想:“阶乘一般是整数的,1、2、3、4、5、6的阶乘分别为1、2、6、24、120、720。”
哥德巴赫突然想:“那有没有非整数的阶乘,比如2.5的阶乘。”
哥德巴赫直接在纸上画出了1、2、3、4、5、6的自变量和对应的变量1、2、6、24、120、720这样的函数,自己描绘出了一个像是抛物线的这种阶乘曲线。
“从这样的函数上看,那必须是有的。但是,怎么样能求出那些非整数的阶乘值呢?”
这种延拓的问题,哥德巴赫只知道有,但不知道如何准确的去推导。
所以哥德巴赫给伯努利数学家族成员之一的丹尼尔·伯努利写了一封信,就是关于如何去求非整数的阶乘。
丹尼尔·伯努利看到信件后,心里觉得惊奇,认为哥德巴赫的思想很有趣,但是自己也无法解决。
恰巧欧拉在旁边,丹尼尔对欧拉说了这个事情。
22岁的欧拉也瞬间来了兴趣,直接拿着哥德巴赫的手稿,开始细致研究。
欧拉发现等比数列,在x绝对值小于1时,等比数列的和可以等于1(1-x).
还有一个含e的积分方程,也等于1(1-x).
这就推出了伽马函数。
最终得到了震惊世界的γ函数。
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