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骑士中文>数学必修一课本电子版 > 第一百九十三章 狄利克雷条件傅立叶级数(第1页)

第一百九十三章 狄利克雷条件傅立叶级数(第1页)

傅里叶很骄傲的认为,任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数。

虽然很多人都认为有争议,但却没有有力论据。

狄利克雷对傅里叶说:“不是所有的周期信号都可以展开成傅里叶级数。”

傅里叶说:“什么样的不可以。”

狄利克雷说:“周期里带一些古怪的无穷大的,就不可以。”

傅里叶说:“如何的古怪法?”

狄利克雷说:“听说过间断点吧。”

间断点有第一类间断点和第二类间断点:

第一类间断点的左极限和右极限都是存在的,有可去间断点和跳跃间断点。

第二类间断点指函数的左右极限至少有一个不存在,有无穷间断点,振荡间断点,单侧间断点,狄利克雷函数间断点。

傅里叶从没细细考虑过这个,觉得狄利克雷转牛角尖说:“我知道,可去间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗?跳跃间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗?”

狄利克雷说:“无穷间断点不可以,单侧间断点不可以。”

狄利克雷话还没说完,傅里叶打断:“等等,还有狄利克雷函数间断点。你这个函数既不连续,有不可导,当然不可以了。”说完二人哈哈大笑。

狄利克雷说:“所以,想要让周期函数能展开成傅里叶级数,要么函数连续,要么只有几个第一类间断点。”

傅里叶说:“是的,我不会去处理第二类间断点这么麻烦的东西。”

狄利克雷说:“在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个。”

傅里叶说:“你的意思是,如果是无限个最大值和最小值,我的就处理不过来?”

狄利克雷说:“还有一个条件是,信号是绝对可积的。”

傅里叶说:“还有不可积的周期函数?”

狄利克雷写出了不可积函数,sinxx求x积分,sinx^2求x积分等函数。

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面:

(1)在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;

(2)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;

(3)在一周期内,信号是绝对可积的。

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